10月核心函数考点汇总!

一、函数三要素：定义域是“生死线”

1. 判断同一函数

必须同时满足：

• 定义域相同；

• 对应关系相同。

易错：只看解析式化简后一样，忽略定义域。如 f(x)=x 与 g(x)=x²/x 不是同一函数。

2. 求定义域

常考限制：

• 分式：分母 ≠ 0；

• 偶次根式：被开方数 ≥ 0；

• 对数：真数 > 0，底数 > 0 且 ≠ 1；

• 零次幂：底数 ≠ 0；

3. 抽象函数定义域

记住两句话：

• 已知 f(x) 定义域为 [a,b]，求 f(g(x)) 定义域：解 a≤g(x)≤b；

• 已知 f(g(x)) 定义域为 [a,b]，求 f(x) 定义域：求 g(x) 在 [a,b] 上的值域。

期中高频方法：

1. 配方法：二次函数；

2. 换元法：根式、分式；

3. 分离常数法：形如 ；

4. 单调性法；

5. 基本不等式法；

6. 判别式法；

7. 数形结合法。

易错：换元后必须写新元范围。

三、求解析式：四种模型

1. 待定系数法：已知函数类型；

2. 换元法：已知 f(g(x))；

3. 配凑法：把右边凑成 g(x) 的形式；

4. 方程组法：已知 f(x) 与 f(−x)、f(1/x) 关系。

例：f(x)+2f(−x)=x，用 −x 替换再联立。

四、单调性：证明与判断

1. 定义法证明五步

取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论。

2. 复合函数单调性

口诀：同增异减。先求定义域，再拆内外函数。

3. 分段函数单调性

每段单调，且分界点处要满足大小关系。例如在 R 上递增，必须左段最大值 ≤ 右段最小值。

易错：单调区间不能用“∪”连接。

五、奇偶性：先看定义域是否对称

• 奇函数：f(−x)=−f(x)，图像关于原点对称；

• 偶函数：f(−x)=f(x)，图像关于 y 轴对称；

• 奇函数若在 x=0 有定义，则 f(0)=0。

高频综合：利用奇偶性求解析式、求参数、比较大小、解不等式。

六、二次函数：区间最值是压轴常客

核心看三点：

1. 开口方向；

2. 对称轴；

3. 区间位置。

口诀：轴在区间左、内、右，分别讨论。

恒成立问题：

• a≥f(x) 恒成立 ⇒ a ≥f (x)max；

• a≤f(x) 恒成立 ⇒ a ≤ f(x)min⁡。

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