为什么Excel计算频谱的RMS值与软件结果不同?

最近一天内有两位同行咨询这个问题：通过软件计算某个频带内的RMS值与将数据导出到Excel计算得到的RMS值不同。我想，可能除了这两位同行之外，还有很多同行也有这样的疑惑，因此，有必要通过实例说明原因。实际上，这涉及到计算频带内的有效值时，是以能量修正为前提的。而常见的频谱，如线性自功率谱是按幅值修正的。关于这两种修正方式的说明，请见文章“幅值修正与能量修正”。

使用的频域信号为线性自功率谱，幅值格式为peak，频率分辨率为0.5Hz，分析带宽为0-6400Hz，使用的窗函数为汉宁窗，其频谱如图1所示。

图1 要计算的频谱

任选一区间作为计算演示，在这选取1124-1134Hz频带内的值进行计算，通过软件计算得到这个频带内的RMS值为0.1244g，如图2所示。

图2频带内软件计算的RMS值为0.1244g

将1124-1134Hz频带内的线性自功率谱幅值导出到Excel中，计算结果如图3所示，由于频率分辨率为0.5Hz，因此共有21条谱线。不同计算方法得到的结果也在图3中显示。将每条谱线RMS幅值按能量相加（平方和开根号）求得这个频带内的RMS值为0.15265g，与软件计算结果不同。在说明差异的原因之前，先简要地介绍一下相应的理论背景。

图3 Excel计算相同频带的RMS值

根据信号处理理论，对于线性频谱的幅值为RMS形式，计算如图4所示频带f₁~f₂内的RMS值（也称窄带RMS值）时，计算公式如下，对于始末谱线，取其半值，这是由于始末谱线还有一半的能量位于计算频带外。

图4 计算频带f₁~f₂间的RMS值

在Excel中，大多数同行都是按上述公式计算相应频带内的RMS值。对图3的数据按此式计算得到这个频带内的RMS为0.15265g，与软件计算得到的值有差异。

在某些情况下，如计算频谱时施加矩形窗或频谱的幅值是按能量修正处理的（如功率谱密度PSD），则按能量相加公式计算的RMS值与软件结果是相同的。但是大多数情况下，人们常用的频谱形式是线性自功率谱。这种线性频谱的修正方式是幅值修正，而施加的窗函数也不是矩形窗，那么，这时在Excel中按上述公式计算的RMS值与软件结果是不相同的。

在进行FFT计算时，为了减少频谱泄漏，需要对分析的时域信号施加窗函数。每种窗函数都有自身的特征，如主瓣能量与所有旁瓣能量之比、主瓣宽度、旁瓣衰减速率、幅值失真度等等。窗函数的选择取决于分析目的和被分析信号的类型。施加窗函数会改变原始信号的属性，如汉宁窗会将原始信号的起始与结束时间段的信号置零，如图5所示是对正弦信号施加汉宁窗后的波形。加窗后的信号的幅值或/和能量与加窗前有明显差异。因此，需要对加窗后的信号进行修正，通过修正因子使加窗后的信号恢复到与原信号有相同的幅值或能量。故，对信号的修正分为幅值修正和能量修正。

图5 对单频正弦信号施加汉宁窗后的波形

计算信号的RMS值，属于能量范畴，因此，在计算时应使用能量修正的频谱。如施加汉宁窗的情况下，加窗后信号的能量仅为原信号能量的61%。因此，加窗后的数据需要倍乘1.63，以修正能量的大小。补偿加窗所需的修正因子，取决于修正类型和加窗的次数。常见的窗函数的修正因子所表1所示。

表1 常见窗函数的修正因子

通常商业软件都有默认的频谱修正方式，如对频谱spectrum、自功率谱（包括线性形式）和阶次采用幅值修正；功率谱密度PSD采用能量修正等。

现在来解释本文的问题。当对幅值修正的线性频谱在Excel中按上述公式计算RMS值，没有考虑将幅值修正的频谱转换为能量修正。如果频谱是能量修正，按上述公式计算的结果与软件计算结果是相同的。对图3所示的频带内的RMS计算时，由于施加的是汉宁窗，因此，需要先将幅值修正转换为能量修正，即除以幅值修正因子2，再乘以能量修正因子1.63。或直接将按上述公式计算的RMS值乘以系数0.815（0.815=1.63/2）。

因此，对于施加汉宁窗的线性频谱而言，软件计算的RMS值是Excel中计算的RMS值的0.815倍。其他窗函数的线性频谱，二者相差的系数为能量修正因子/幅值修正因子。能量修正的频谱，二者计算结果是一致的。