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《量子力学原理》学习笔记之复数有什么用

《量子力学原理》学习笔记之复数有什么用

的由来——如果是它是解一元三次方程过程中不得不引入的数，那么这样的解释恐怕还是不能消除你心中的疑惑——它到底代表什么含义。

事实上，复数的英文是imaginary，意思是虚幻的、想象中的数。就是说，同样的问题也曾经困扰着发现虚数的16世纪的数学家们。

好在，现在这个问题早已有了答案。

你一定知道，我们知道的实数，无论是正数、负数、分数、有理数还是无理数，一定可以在数轴上找到每个数字的位置，实数组成了数轴。换句话说，数轴是一维的。

我们生活在三维的宏观世界，怎么可能用一维的数轴解决至少是三维空间的问题！

复数给了我们机会，把一维的数轴变成二维平面。

首先，我们把任何一个数 z 记作 x + yi , x 、y 都都是实数并且可以等于0

但是需要注意的是，这里的加号并不是真正要把 yi 加到 x 上去，使用加号只是历史上延续下来的错误。

不难看出，当 y = 0 时，z 就是普通的实数；当 x = y = 0 时，z = 0

现在你可以画出一个直角坐标系了，X 轴是实数轴，x + yi 里的 x 在 X 轴标记；Y 轴是虚数轴，x + yi 里的 yi 在 Y 轴标记，这个直角坐标系组成的平面称为复平面。任何一个复数，都可在这个平面里找到它的坐标。

现在，复数的运算就有了几个解释。

举例子

复数 z = 4 + 2i , 在复平面上就是点 A ，复数 z 就是矢量 OA

① 复平面上任何一个数，乘以虚数 i ，就等于逆时针把它旋转90°

iz = i (4 + 2i) = 4i + 2i × i = -2 + 4i

在复平面上找到 (-2 , 4i )，就是点 Q

可以看出，OQ 的长度和 OA 相等，∠AOQ=90°

② 复平面上任何一个数，加上另一数，符合平行四边形法则

在图上先找到 OB'代表的复数 2 + 3i

OA - OB' = B'A

( 4 + 2i ) - (2 + 3i ) = (2 - i )

2 - i 在复平面里代表 OP，B'A 和 OP 是平行四边形的两条边

③复平面上任何一个数，乘以另一数，就等于把它旋转相应的角度和放大相应的长度

OA × OB'= ( 4 + 2i ) × (2 + 3i )

= 4 × 2 + 4 × 3i + 2 ×2i + 2i × 3i

= 8 + 12i + 4i - 6= 2 + 16i

2 + 16i在复平面里代表 OA'

可以看出三角形 OAB 和 OA'B' 是相似三角形

OA × OB' = OA'

就是把 OA 逆时针旋转了 OB' 的角度，并放大了 OB' 的长度

而以上所有的运算，都是承认了

代数运算和几何在复平面里相互印证，这个焦点是

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