使用Excel计算马尔科夫链稳态分布

离散马尔科夫链求稳态分布是随机过程中的一个常见问题。一个常见的应用就是在保险中，对车险NCD系统求稳定状态分布。

我们知道这个问题可以通过求解方程组得到。

设稳定状态的分布为

转移概率矩阵为

那么有方程组

其中

另外根据转移矩阵的性质，

所表示的n个方程并不是独立的，它的秩为n-1，也就是说，“有效”的方程只有n-1个，不妨将最后一个方程剔除，变为

将

补充到上述矩阵形式的方程组，变为

同时，我们还注意到以下恒等式

中间这个矩阵是把n阶单位矩阵的最后一行变为0。

那么将这两个方程相减，得到

简记为

那么

这样，我们将方程组的写为矩阵乘法形式，就可以在Excel中计算。

举例：

某保险公司的奖惩系统有4个等级，各个等级的折扣分别为0%、5%、10%、15%，奖惩系统转移规则如下：

若保单在一年中无赔案发生，保单持有人上升一个等级或停留在最高等级。

若保单在一年中发生一次赔案，保单持有人停留在原等级。

若保单在一年中发生了一次以上赔案，保单持有人将下降到最低折扣等级。

保单初始保费为1000元，现有500份保单，每份保单发生索赔概率为

P(X=0)=0.9，P(X=1)=0.05，P(X>1)=0.05

计算奖惩系统达到稳定状态后，保险公司的保费收入。

此时，转移矩阵为

根据上述推导，

下面展示通过EXCEL求解的过程

输入矩阵Q

求矩阵逆的公式是“MINVERSE”

这是数组公式，需要选中一个4×4的单元格作为目标区域，之后在公式框中输入

然后按住Ctrl+Shift+Enter，得到计算结果

下面录入en

求解矩阵乘法的公式是MMULT，也是一个数组公式，需要先选中1×4的单元格作为目标区域，在公式框中输入

然后按住Ctrl+Shift+Enter，得到计算结果

那么保费收入就可以通过简单的计算期望，乘以保单数量500得到，也就是432621

这里需要注意的问题是，矩阵中0元素必须在EXCEL中完整录入，否则会报错。

通常来说，手工或用普通计算器计算线性方程组是一个比较繁琐的事情，尤其是系数不那么“整”的情况下，EXCEL可以很好的简化这些过程。