一、什么是倍数？—— 从分苹果开始

家里的故事

家里有 6 个人，每人需要 2 个苹果，一共需要多少个？

6 × 2 = 12（个）

每人 3 个呢？每人 4 个呢？每人 5 个呢？

6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30

看一看得到的这些数：12、18、24、30。它们都是 6 的倍数。

什么是倍数？

一个数（比如 6）分别乘 1、乘 2、乘 3、乘 4…… 得到的那些数，就是它的倍数。

6 的倍数：6、12、18、24、30、36、42……
（6×1）（6×2）（6×3）（6×4）

倍数的两个小特点

• 倍数是越乘越大的，可以一直数下去，有无限多个。
• 最小的倍数是它自己（6×1 = 6），没有最大的倍数。

生活里的倍数

• 一包糖 6 元，买 4 包要 24 元 → 24 是 6 的倍数。
• 一排坐 6 人，3 排坐 18 人 → 18 是 6 的倍数。

练一练 1

1. 写出 6 的前 5 个倍数。
2. 写出 8 的前 5 个倍数。
3. 判断：40 是 6 的倍数吗？为什么？
4. 生活题：一盒鸡蛋有 10 个，买 3 盒一共多少个？这个数是 10 的倍数吗？

二、倍数长什么样？—— 在数轴上和数表里找它

1. 在数轴上：像青蛙跳格子

从 0 开始，每次往前跳 6 格，落点就是 6 的倍数。

0    6    12   18   24   30   36
|----|----|----|----|----|----|
   跳1  跳2  跳3  跳4  跳5  跳6

发现： 相邻两个倍数之间都相差 6。它们在数轴上是等距离排队的。

2. 在数表里：会排成好看的花纹

把 1 到 24 写成每行 6 个的表格，把 6 的倍数圈出来：

 1   2   3   4   5  [6]
 7   8   9  10  11 [12]
13  14  15  16  17 [18]
19  20  21  22  23 [24]

发现： 在每行 6 个的表格里，6 的倍数整整齐齐排成了一列（都在第 6 格）。

如果写成每行 10 个的百数表（1 到 100），6 的倍数就排成一条斜斜的花纹：

 1   2   3   4  5  [6]  7  8  9  10
11 [12] 13  14  15 16 17 [18] 19 20
21  22  23 [24] 25 26 27  28  29 [30]

练一练 2

1. 在下面这条数轴上，接着写出 7 的倍数：7、14、、、、。
2. 有一段路，从 0 开始每 5 米插一面旗。第 4 面旗在几米？第 7 面旗呢？（画一画数轴）
3. 想一想：两个 6 的倍数相加，还是 6 的倍数吗？举一个例子试试。（比如 12 + 18 = ？）

三、反过来想：什么是因数？—— 24 个礼品怎么分？

班级里的故事

老师给了你 24 个礼品。班上一共有 40 个人，但你不想给所有人，只想给其中一部分人。

要求：拿到礼品的人，每人分到的一样多，而且要正好分完，不能剩下。

有多少种分法呢？

我们来试一试，把 24 拆成「每人几个 × 几个人」：

一共 8 种分法。

什么是因数？

像 1、2、3、4、6、8、12、24 这样，能正好整除 24 的数，就叫 24 的因数。
换句话说：24 能被谁整除，谁就是 24 的因数。

因数和倍数是「一对好朋友」

因为 24 = 6 × 4
所以 24 是 6 的倍数，反过来 6 就是 24 的因数。

⚠️ 一定要说清楚是谁的：不能只说「6 是因数」，要说「6 是 24 的因数」。

因数的三个小特点

• 因数是有限个的，数得完。
• 最小的因数是 1。
• 最大的因数是它自己（24 的最大因数是 24）。

找因数的小窍门：一对一对地找

24 = 1 × 24
24 = 2 × 12
24 = 3 × 8
24 = 4 × 6   ← 两个因数越来越靠近，碰到头就找完了

练一练 3

1. 一对一对地找出 36 的所有因数。
2. 找出 18 的所有因数，说说它最大和最小的因数分别是几。
3. 生活题：妈妈买了 30 块饼干，要正好平均分给几个人（每人至少 2 块，至少分给 2 个人）。有几种分法？

四、因数可以拆着看 —— 树状分解

24 不只能写成 1 × 24，还能一步一步拆下去。

先随便拆一种：

        24
       /  \
      2    12
          /  \
         2    6
             / \
            2   3

拆到最底下：24 = 2 × 2 × 2 × 3

再换一种拆法试试（先拆成 4 × 6）：

        24
       /  \
      4     6
     / \   / \
    2   2 2   3

拆到最底下：2 × 2 × 2 × 3

发现一个神奇的事

不管你怎么拆，最后拆出来的「叶子」都是一样的：2、2、2、3。只是顺序可能不同。

这叫分解质因数——把一个数拆成一堆质数相乘。

练一练 4

1. 用树状图把 36 拆到最底下，写出结果。
2. 用两种不同方法把 48 拆开，看看最后的「叶子」是不是一样。
3. 想一想：为什么拆到 2、3、5、7 这样的数就拆不动了？（提示：看下一节）

五、质数 —— 拆不动的数

回头看树状图的「叶子」：2、3、5、7……

这些数有个共同点：除了 1 和它自己，再也找不到别的因数。

• 2 = 1 × 2（只有 1 和 2）
• 3 = 1 × 3（只有 1 和 3）
• 5 = 1 × 5（只有 1 和 5）

什么是质数？

一个数如果只有 1 和它本身两个因数，就叫质数（也叫素数）。

什么是合数？

除了 1 和它本身，还有别的因数的数，叫合数。比如 6 的因数有 1、2、3、6，所以 6 是合数。

两个特别的规定

• 1 既不是质数，也不是合数（它只有一个因数）。
• 2 是最小的质数，也是唯一一个偶数质数。

生活里怎么记？

质数就像「拆不动的积木块」，合数都是用这些积木块搭出来的。

练一练 5

1. 把下面这些数分成「质数」和「合数」两类：
   2、9、11、15、17、21、23、27
2. 20 以内的质数有哪些？把它们写下来。
3. 想一想：两个质数相加，得到的数一定是质数吗？举一个例子说明。

六、公因数 —— 两个人都能「一样多」

分水果的故事

你有 24 个苹果 和 36 个橘子，要分给几个小朋友。

要求：每人拿到的苹果一样多，橘子也一样多，而且都要正好分完。

可以分给几个人呢？

先分别找出它们的因数：

24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36

两边都出现的数：1、2、3、4、6、12

这些就是 24 和 36 的公因数。其中最大的是 12，叫最大公因数。

所以最多可以分给 12 个小朋友，每人拿到 2 个苹果、3 个橘子。

生活里的公因数

• 把 24 支铅笔和 36 本本子装进同样的礼袋，每袋一样多 → 最多装 12 袋。
• 铺地砖：长 24 分米、宽 36 分米的地面，用正方形地砖正好铺满 → 地砖边长最大是 12 分米。

练一练 6

1. 找出 12 和 18 的所有公因数，以及最大公因数。
2. 生活题：有 18 个男生和 24 个女生，要分成几个小组，每组男生一样多、女生一样多。最多可以分成几组？每组几个人？

七、从公因数到除法的简便算法 —— 本课的大招

一个重要的规律：商不变

被除数和除数同时除以同一个数，商不变。

就像分钱：

720 元分给 45 个人，和 80 元分给 5 个人，
每个人拿到的钱是一样多的，但第二个算起来容易太多了！

怎么用？—— 先找公因数，让两个数一起变小

例题：720 ÷ 45 = ?

第一步：把两个数都拆开看看

720 = 72 × 10 = 8 × 9 × 10
45  = 9 × 5

发现 9 是它们的公因数！

第二步：两个数同时除以 9

720 ÷ 9 = 80
45  ÷ 9 = 5

第三步：算变小的那道题

720 ÷ 45 = 80 ÷ 5 = 16

口诀：先找「大家都能整除的数」，两边一起除掉它，再算剩下的。

生活里的感觉

这就像把一大堆东西先分成几大包，再在每个大包里分。东西的总数没变，每人得到的也没变，但你算的数变小了，心算就能算出来。

除法还有一招：拆除数

480 ÷ 24 = 480 ÷ 12 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20
（因为 24 = 12 × 2，分两次除，每次都很好算）

240 ÷ 12 ÷ 2 = 240 ÷ (12 × 2) = 240 ÷ 24 = 10
（反过来：连续除两个数，等于除它们的乘积）

乘法也能用分解 —— 凑整最好算

记住两对好朋友：

25 × 4 = 100
125 × 8 = 1000

看到 25 就去找 4，看到 125 就去找 8：

25 × 44 = 25 × (4 × 11) = (25 × 4) × 11 = 100 × 11 = 1100
125 × 32 = 125 × (8 × 4) = (125 × 8) × 4 = 1000 × 4 = 4000

练一练 7（本课重点）

用「找公因数 / 拆因数」的方法算，并把你怎么拆的写下来：

1. 720 ÷ 45 = ?
2. 480 ÷ 24 = ?
3. 900 ÷ 36 = ?
4. 240 ÷ 12 ÷ 2 = ?
5. 1000 ÷ 125 ÷ 8 = ?
6. 25 × 36 = ?
7. 125 × 32 = ?
8. 16 × 125 = ?

八、生活应用 —— 什么时候用得上？

最后一道生活题（自己动脑筋）

超市里一种饼干，一箱有 24 包，一包 25 元。买 4 箱要多少元？

提示：可以先算一共多少包，再算多少钱；也可以想想 25 和 4 能不能先凑在一起算。

做完了？来对答案

⚠️ 一定要先自己做完，再看这里哦。

练一练 1

1. 6、12、18、24、30
2. 8、16、24、32、40
3. 不是。因为 40 不能被 6 整除（6×6=36，6×7=42，中间没有 40）
4. 30 个。是 10 的倍数（10×3=30）

练一练 2

1. 7、14、21、28、35、42
2. 第 4 面：20 米；第 7 面：35 米
3. 是。比如 12 + 18 = 30，30 = 6 × 5，还是 6 的倍数

练一练 3

1. 36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36（配对：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6）
2. 18 的因数：1、2、3、6、9、18。最小 1，最大 18
3. 30 的因数有 1、2、3、5、6、10、15、30。每人至少 2 块、至少 2 人，所以可以：每人 2 块分 15 人、每人 3 块分 10 人、每人 5 块分 6 人、每人 6 块分 5 人、每人 10 块分 3 人、每人 15 块分 2 人。共 6 种

练一练 4

1. 36 = 2 × 2 × 3 × 3
2. 48 两种拆法都得到 2 × 2 × 2 × 2 × 3
3. 因为它们都是质数，只有 1 和自己两个因数，拆不出别的了

练一练 5

1. 质数：2、11、17、23；合数：9、15、21、27
2. 20 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19
3. 不一定。比如 3 + 5 = 8，8 是合数

练一练 6

1. 12 的因数：1、2、3、4、6、12；18 的因数：1、2、3、6、9、18。公因数：1、2、3、6。最大公因数：6
2. 最多分成 6 组，每组 3 个男生、4 个女生

练一练 7

最后一道生活题

4 箱 = 96 包，96 × 25 = (96 ÷ 4) × (25 × 4) = 24 × 100 = 2400 元。
小窍门：96 里拿出一个 4 给 25，凑成 100，算起来快多了！

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