讲台上
唐宏岩放下粉笔，拍了拍手上的灰
转向学生提问：
“1，能不能近似于1亿？”
教室里安静了一下，一时没人接话
有人与同伴对视了一眼
“不能吧？”有学生迟疑地说
“为什么不能？”唐宏岩追问
“差距太大了。”同学回答道
“为什么1和1亿的差距，就叫‘太大’？”
……
这一连串的“为什么”
是清华大学数学基础教学中心副教授唐宏岩
执教多年的缩影
他要的不是答案
而是要唤醒学生审视直觉的自觉
他的课曾让学生“不舒服”
却也让人感慨
“原来数学还能这么学”
2025年，唐宏岩所教授的
“概率论与数理统计”课程
获评清华大学标杆课程
2013年春天，当唐宏岩决定接手“概率论与数理统计”课程时，他清楚地知道自己接下了一块“硬骨头”。
这门课是理工科非数学专业学生必修的数学公共基础课，但它不似传统基础课，反而更像一门需要融会贯通的“顶点课程”：学生既要综合运用微积分和线性代数知识，又要能最终用它解决真实世界的问题。正是这种独特的挑战性，使得它在一众公共基础课中脱颖而出，并被致力于培养拔尖创新人才的钱学森力学班（以下简称“钱班”）列为荣誉学位课程。
高要求也意味着高教学难度。如何在一门课上实现从“基础”到“综合”的跨越，是困扰许多教师的难点，也是课程团队曾面临缺人手窘境的原因。唐宏岩迎难而上，开启了他与这门课长达十余年的相互塑造之路。
课程内容涵盖“概率论”和“统计推断”两大版块，如何平衡二者比重是教学设计的关键。传统的教学进度安排是前10次课讲初等概论，留给统计推断的仅有4-5次课，学生往往只能“浅尝辄止”。
唐宏岩认为，统计学思想对理工科学生的未来至关重要。于是，从第二次开课起，他便开始对课程结构进行优化探索，将概率论部分逐步压缩、精炼，从10次课减至8次，再到7次，最终根据教学效果反馈稳定在8次。这一调整让统计推断获得了更多的教学时间，使学生能够更深入地理解统计学的思想方法。
支撑唐宏岩在这条路上坚定前行的，还有一份在2016年收到的托付。那年，原来负责钱班这门课的龚光鲁老师在课程交接时问他：“小唐你多大了？”“四十。”唐宏岩回答道。“我今年八十，是你的两倍。”龚老师接着说，“这‘两倍’的缘分一生只有一次。”
这朴素的话语里，既有老教师对讲台的眷恋，更饱含着对后辈的认可与期许。唐宏岩明白，接手这门课不仅是教学任务，更是一项需要坚守的使命。
唐宏岩的课堂与许多学生习惯的教学方式不同——没有固定教材，不用PPT，全程手写板书；注重分析案例，从不讲解例题。这种风格，确实让一些习惯通过例题学习的学生需要时间适应。
“我知道学生短期给出的教评分数不会太高。”唐宏岩带着温和而自信的笑容说道，“因为我的教学方式确实会让一些学生觉得‘不舒服’。”但事实上，在学生们的口中，他的课却常被标记为“值得一选”。他坚持了自己认为对的路，慢慢地这套教学方法成熟了起来。
这种坚持的背后，是唐宏岩对数学教育的深刻思考。在他看来，概率与统计不仅是一套工具，更是一种认识世界的方式。与传统数学追求“对错”不同，统计更注重“合理”性，强调在不同情境下做出恰当的判断。
唐宏岩在培养学生的过程中，特别重视“思考的过程”。“思考这个动作本身，以及开始思考的意愿，比思考的具体内容更为重要。”唐宏岩说。他希望通过教学，帮助学生打破思维定式，将自发的思考转化为自觉的行动，最终形成能够迁移到其他领域的思维能力。
基于这样的理念，他在教学中坚持不讲例题、只分析案例。“现实问题从来都不是课本例题的简单复制粘贴，总会遇到新情况，单纯模仿解决不了问题。不过，两者背后的逻辑是相通的。”因此，他在课堂上着重剖析案例中的关键思维节点，将具体的求解过程留给学生课后自行完成。
为了配合这种思维训练，他还设计了一套完整的考核体系：课后作业注重思维过程，完成基本要求即可获得相应分数，同时为学有余力的学生提供深入探索的空间。期末考试分为“统一命题”和“自主命题”两部分，各占50%，既考查基础知识，也注重检验综合应用能力。
唐宏岩解释说，自主命题部分重在考察思维品质。“紧跟课程节奏的学生会感到题目很常规，而准备不足的学生则会觉得难度较大。”他说，有些学生可能会从任务量或难易程度评价，但这容易产生误解。“我希望引导学生意识到，学习的最高境界不是被动听讲，而是在实践和反思中实现自我提升。”他补充道。
此外，他还通过小论文写作、项目式学习等方式，将思维训练延伸到课堂之外。在项目汇报环节，他特别设计了随机抽选汇报人的机制，既确保每个学生都充分参与，又培养了团队的协作与担当。这些精心设计的教学环节，共同构成了他“思维锤炼”教学理念的有机整体。
对唐宏岩而言，历届学生中，令他印象深刻的不少。其中有一位曾上过他的“概率论与数理统计”课的学生，原是生物专业，自称“害怕数学”。然而上了一学期课后，发现“统计还挺有意思”，于是又主动选修了更多统计方向的课程，最终成功申请到耶鲁大学生物统计学方向的博士。这位学生给唐宏岩发来消息：“是您的课让我意识到了‘原来数学还能这么学’。”这份跨越多年的反馈，让唐宏岩更加坚定了自己的教学选择。
在唐宏岩看来，具体的“知识”作为“术”或许会过时，但通过数学思维训练所提升的“道”，其适用面是永不过时的。“现在所学的专业与未来从事的行业之间并没有必然联系，但思维方式是能带走的。”他说道。
近年来，当教育领域面临人工智能（AI）技术冲击时，唐宏岩的教学理念愈发体现出其前瞻性。
2023年8月，清华大学启动人工智能赋能课程试点，至今已有数百门落地。面对这一趋势，唐宏岩思考的从来不是“要不要阻拦学生用AI”，而是“如何应对转变”。他认为，对于传统作业，AI已能给出可靠答案，“拦是拦不住的”，关键在于引导正确使用。因此，他坚持将期末考试权重设为60%，因为在他看来，学生高效使用AI工具的前提是掌握“转化”的能力。“往往老师怎么考，学生就怎么学。”他说。
当前，唐宏岩正积极探索AI工具在课程中的更多应用可能。他认为，AI大模型融入课堂可以推动教学资源动态进化，通过数据赋能实现个性化教学；但同时，也需不断完善多元化考核体系，对学生的学习过程和能力提升给予更多关注，确保学生保持独立思考的意识与能力。
获评清华大学标杆课程，既是对唐宏岩执教生涯中默默耕耘的认可，也印证了其教学理念在变革时代的持久价值。
下课铃响，唐宏岩擦掉黑板上的“1”和“1亿”。那个关于“近似”的问题，答案早已不重要。重要的是，问题本身和对待问题的审慎态度，已经留在了学生的思维里。
来源 | 教务处 清华映像
文｜王浩旭 钱箐旎
图片设计 | 梁晨
摄影 | 张凤春
排版 | 王硕
编辑 | 徐如玉
责编 | 苑洁
审核 | 刘蔚如
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