九年级数学上册|《二次函数》超全知识点总结

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一、什么是二次函数

【知识点】

·一般地，形如 y = ax² + bx + c（a, b, c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。

·a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

·三个判断要点：① 是整式函数；② x 的最高次数是 2；③ 二次项系数 a ≠ 0。

·三种常见形式：一般式 y = ax² + bx + c；顶点式 y = a(x − h)² + k；交点式 y = a(x − x₁)(x − x₂)。

 【例题】

例：下列函数中，哪些是二次函数？

(1) y = 8x² − 16x + 8(2) y = −x²(3) y = −½x² + 5x(4) y = 2(x − 1)² − 5

解：(1)(2)(3)(4) 都是二次函数。注意 (4) 展开后是 y = 2x² − 4x − 3，a = 2 ≠ 0，仍然是二次函数；(2) 中 b = c = 0 也完全合法。

 【建议】

二、二次函数的图象与性质—— 本章核心

【知识点 1】最简单的抛物线 y = ax²

·图象是一条抛物线，顶点在原点 (0,0)，对称轴是 y 轴（x = 0）。

·a > 0：开口向上，顶点是最低点；a < 0：开口向下，顶点是最高点。

·|a| 越大，开口越窄；|a| 越小，开口越宽。

·增减性：a > 0 时，x < 0 递减、x > 0 递增；a < 0 时恰好相反。

图1二次函数 y = ax² 的图象：开口方向由 a 的符号决定

【知识点 2】平移规律 y = a(x − h)² + k

·上加下减（针对 k）：y = ax² → y = ax² + k，沿 y 轴上下平移 |k|。

·左加右减（针对 h）：y = ax² → y = a(x − h)²，沿 x 轴左右平移 |h|。

·组合结果 y = a(x − h)² + k：顶点由 (0,0) 移到 (h, k)，对称轴 x = h，顶点 (h, k)。

图2平移规律：顶点从 (0,0) 平移到 (h,k)

【知识点 3】一般式 y = ax² + bx + c

通过配方可化为顶点式：

y = a(x + b/2a)² + (4ac − b²)/4a

·对称轴：x = −b/(2a)

·顶点坐标：( −b/(2a) , (4ac − b²)/4a )

·最值：a > 0 时有最小值 (4ac − b²)/4a（顶点最低）；a < 0 时有最大值。

·增减性以对称轴为界：对称轴左侧与右侧增减相反。

图3一般式 y = ax² + bx + c 的对称轴与顶点

【例题】

例（教材）：修建圆形喷水池，喷水头使水柱在距池心 1.6 m 处最高 3 m，落地点距池心 3.6 m，求水管长度。

解：以水管与地面交点为原点建系，顶点为 (1.6, 3)，设

y = a(x − 1.6)² + 3(0 ≤ x ≤ 3.6)

代入落地点 (3.6, 0)：0 = a·(2)² + 3→a = −3/4。

故 y = −¾(x − 1.6)² + 3。当 x = 0 时 y = 1.08，即水管长 1.08 m。

图5实际应用：喷泉抛物线（顶点式建模）

 【建议】

三、二次函数与一元二次方程—— 数形结合

【知识点】

抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴公共点的横坐标，正是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根：

·两个交点 → 两个不相等的实数根；

·一个交点（相切）→ 两个相等的实数根；

·没有交点 → 没有实数根。

·反过来，由根的情况也能判断图象与 x 轴的位置关系；还能用图象法估计无理根的近似值（取中点不断缩小范围）。

图4图象与 x 轴交点 ⇔ 一元二次方程的根

 【例题】

例（教材）：小球以 h = 20t − 5t² 飞行，能否达到 20 m？

解：令 h = 20，则 20t − 5t² = 20 → t² − 4t + 4 = 0 → t₁ = t₂ = 2。

所以飞行 2 s 时高度恰为 20 m（说明方程有重根 t = 2）。

【建议】

四、二次函数的实际应用—— 最值问题

【知识点】

核心思路是“建模 + 求最值”：

·第一步：设变量，列出二次函数；

·第二步：求顶点（最值）；

·第三步：千万别忘自变量的取值范围（实际问题必须有意义）。

·常见题型：最大面积（围篱笆）、最大利润（涨价/降价）、抛体高度、拱桥水位。

【例题】

例1（教材）：用 20 m 篱笆靠墙围矩形菜园，怎样面积最大？

解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙边长为 (20 − 2x) m，面积

S = x(20 − 2x) = −2x² + 20x（0 < x < 10）

当 x = −20 / (2×(−2)) = 5 时，S_max = −20² / (4×(−2)) = 50。

答：垂直于墙 5 m 时面积最大，最大 50 m²。

例2（教材利润问题）：现售价 60 元，每周卖 300 件；每涨价 1 元少卖 10 件，进价 40 元。如何定价利润最大？

解：涨价 x 元时，每周利润

y = (60 + x)(300 − 10x) − 40(300 − 10x) = −10x² + 100x + 6000（0 ≤ x ≤ 30）

顶点 x = −100/(2×(−10)) = 5，即定价 65 元时利润最大，y_max = 6250 元。（降价情形同理讨论）

【建议】

五、给初三党的综合提分建议

·背熟“三板斧”：对称轴 x = −b/(2a)、顶点公式、配方法。

·图象说话：任何性质都能从一条抛物线看出来，别只刷题不画图。

·分类讨论 a > 0 与 a < 0，别漏掉符号。

·应用题先建模后求最值，取值范围绝不落下。

·错题本专记三类坑：平移方向、“左加右减”、顶点符号与取值范围。

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